浅谈Buffon投针问题及其推广

公元1777年，法国科学家D·布丰(D.Buffon 1707～1788)设计了一个巧夺天工的实验：往间距为a的平行线族之间投掷长为L 的针，可以计算出针和平行线相交的概率为：

根据此式，可以得到pi的近似估计值，这的确是一个伟大的、奇妙而划时代的实验，可算是蒙特卡罗模拟中的鼻祖和经典了。在大多数教材上，这个概率都是用积分或二重积分计算得来的，比较繁琐，在matrix67的博客中，我欣慰而惊奇地看到了一种非常简便、直观的解法，感慨了一番，也稍微思考了一番。

期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝，不管它被弯成了什么形状，扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的，并且这个值是和L成正比的。这是因为，我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成；而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的，那么由期望值的线性关系，整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L，其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi。自然，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi；而由于这根针与平行线要么没有交点，要么就只有一个交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。——matrix67

matrix67是北大中文系的学生，他对数学思维的把握令我十分汗颜。期望的这条性质大家知道，但是离灵活运用却差得很远。根据上述理论，很容易得到，对于任何曲线，它和平行线族交点个数(Y)的期望都是：

其中S是该曲线周长。

如果要向平行线族之间投掷凸n边形（或者扩展到凸域，凸域就是过该图形任一点做切线，那么所有的点都在切线的同侧，也就是没有凹进去的部分），如果这个凸域的直径不大于平行线距离a的话，那么它和平行线族相交的概率为：

其中，S为凸区域的周长。

概率值刚好是交点个数期望的一半，这个也很直观，因为凸域和平行线的交点个数只有三种可能：

1. 1个交点：当凸域和平行线相切，或者顶点重合
2. 2个交点：这种情况是最常见的
3. 无穷多个交点：有一边重合的时候

其中，第一种情况和第三种情况的几何概率为零，故概率值刚好是交点个数期望的一半(这里不太严谨，望大家指教)。把两根针并在一起，既可以构造一个闭区域，其与平行线相交的概率和交点个数都和上面理论一致。

如果投掷一般闭合区域的话，那么它和平行线族相交的概率依然为：

不过，此时S为该闭区域所生成的最小凸区域的周长。

因为尽管它们的周长不一样，和平行线交点的期望不一样，但是它们和平行线是否有交点的概率是一样的。下图中的类半圆图形就是月牙图形生成的最小凸区域，它们显然和平行线是否相交完全等价。

最后，要说的是直观思维的重要性，定理有千千万万，如果能用直观的形式将它们逐渐消化，那是最好不过的了，我在看书的时候经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得对这个定理依然云里雾里的。对此，matrix67做了很精彩的评价：

数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。