一、一个例子

核密度估计应该是大家常用的一种非参数密度估计方法,从某种程度上来说它的性质比直方图更好,可以替代直方图来展示数据的密度分布。但是相信大家会经常遇到一个问题,那就是有些数据是严格大于或等于零的,在这种情况下,零附近的密度估计往往会出现不理想的情况。下面以一个指数分布的模拟数据为例(样本量为1000),R程序代码为:

set.seed(123);
x=rexp(1000,1);
plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2));
lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue");
abline(v=0,col="red");

原始核函数(样本量1000)

可以看出,理论上应该单调递减的密度函数在0附近有明显的“陡坡”,而且不应该有密度的小于零的区域也有着正的估计值。当样本量增大时,这种现象也不会得到明显好转,下图是将样本量改为10000时的情形。

set.seed(123);
x=rexp(10000,1);
plot(density(x,kernel="epanechnikov"),ylim=c(0,1.2));
lines(seq(0,8,by=0.02),dexp(seq(0,8,by=0.02),1),col="blue");
abline(v=0,col="red");</pre>

原始核函数(样本量10000)

我们也许从平时看的书中了解到,当样本量趋于无穷时,核密度估计值将是收敛到真实的密度函数的,但我们可能不会特意去研究那些结论成立的条件。以上这两个简单的例子似乎给了我们一个直观的感觉,那就是当真实密度函数的支撑集(函数f(x)的支撑集指的是使得f(x)≠0的x的集合)有边界时,核密度估计值可能会出现一些不理想的情况。下面就简单地给出一些理论的结果。

二、理论分析

在一些必要的条件下(真实的密度函数f二阶导绝对连续,三阶导平方可积),核密度估计值\(\hat{f}(x)\)的偏差有表达式\(Bias[\hat{f}(x)]=\frac{h^2\sigma\_k^2f";(x)}{2}+O(h^4)\),其中h是带宽,\(\sigma\_k^2=\int u^2k(u)du\),k(u)是支集为[-1,1]的核函数(即在[-1,1]上有值,其余的地方取零)。可以看出这个偏差是随着带宽h的减小以\(h^2\)的速度趋于零的。

而假设密度函数以0为边界,那么上述表达式将不再成立,而是代之以

$$E[\hat{f}\_k(x)]=a\_0(x)f(x)-ha_1(x)f'(x)+O(h^2)$$

其中\(a\_i(x)=\int\_{-1}^{x/h}u^ik(u)du\)。可以看出,当\(x \ge h\)时,\(a\_0(x)=1\)\(a\_1(x)=0\),此时的偏差跟之前的那个表达式没有区别;但当\(0 \le x<h\)时,\(a\_0(x)\)\(a\_1(x)\)都是非零的,于是偏差总是存在。

也许你会提议说,将估计值除以\(a_0(x)\),偏差就可以减小了吧?的确,这样是一种改进的办法,但也要注意到,此时h的一次项不会消除,也就是说原来\(h^2\)的衰减速度放慢到了h,从效率上说相对于理想的情况是大打了折扣。

这时候一个巧妙的办法是,用另外一个核函数l(x)对f也做一次估计,那么就有

$$E[\hat{f}\_l(x)]=b\_0(x)f(x)-hb_1(x)f'(x)+O(h^2)$$

其中的\(b\_0\)\(b\_1\)意义类似,只不过是针对l(x)的。

对以上两个式子进行线性组合,则会有

$$b\_1(x)*E[\hat{f}\_k(x)]-a\_1(x)*E[\hat{f}\_l(x)]=[b\_1(x)a\_0(x)-a\_1(x)b\_0(x)]f(x)+O(h^2)$$

然后把f(x)的系数移到等式左边,O(h)项的偏差就神奇地消失了。

通过观察核密度估计的表达式,我们可以将上面这个过程等价地认为是对f(x)用了一个新的核函数进行估计,这个新的核函数是

$$p(x)=\frac{b\_1(x)k(x)-a\_1(x)l(x)}{b\_1(x)a\_0(x)-a\_1(x)b\_0(x)}$$

特别地,如果将l(x)取为x*k(x),那么p(x)将有一个简单的形式

$$p(x)=\frac{(a\_2(x)-a\_1(x)x)k(x)}{a\_0(x)a\_2(x)-a_1^2(x)}$$

\(x \ge h\)时,这个新的核函数p(x)就是k(x),而当\(x \ge h\)时(也就是在边界),它会对最初的核函数进行调整。当\(x<0\)时,不管算出来的估计值是多少,都只需将密度的估计值取为0即可。

三、程序实现

下面这段程序是对本文的第一幅图进行“整容”,代码及效果图如下:

k=function(x) 3/4*(1-x^2)*(abs(x)&lt;=1);
a0=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	0.75*(ub-lb)-0.25*(ub^3-lb^3);
}
a1=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	3/8*(ub^2-lb^2)-3/16*(ub^4-lb^4);
}
a2=function(u,h)
{
	lb=-1;
	ub=pmin(u/h,1);
	0.25*(ub^3-lb^3)-0.15*(ub^5-lb^5);
}
kernel.new=function(x,u,h)
{
	k(x)*(a2(u,h)-a1(u,h)*x)/(a0(u,h)*a2(u,h)-a1(u,h)^2);
}
den.est=function(u,ui,h)
{
	sapply(u,function(u) ifelse(u&lt;0,0,mean(kernel.new((u-ui)/h,u,h))/h));
}
set.seed(123);
dat=rexp(1000,1);
x=seq(0,8,by=0.02);
y=den.est(x,dat,2*bw.nrd0(dat));
plot(x,y,type="l",ylim=c(0,1.2),main="Corrected Kernel");
lines(x,dexp(x,1),col="red");

修正核函数(样本量1000)

从中可以看出,边界的偏差问题已经得到了很好的改进。

如果真实的密度函数的支集不是[0,+∞],而是某一个闭区间[m,n],那么偏差修正的过程与上面类似,只不过是要将\(a\_i(x)\)定义为\(a\_i(x)=\int_{(x-n)/h}^{(x-m)/h}u^ik(u)du\)。在编程序的时候,也只需把积分的上下限进行相应的调整即可。

四、参考文献

Jeffrey S. Simonoff, 1998. Smoothing Methods in Statistics. Springer-Verlag

相关链接:http://pages.stern.nyu.edu/~jsimonof/SmoothMeth/

发表/查看评论