一、课程简介

主讲教师：张波、张景肖、肖宇谷

指定教材：张波、张景肖《应用随机过程》，清华大学出版社

授课对象：中国人民大学统计学、精算专业大三学生

学分学时：3学分，共48学时

考核方式：闭卷考试

目的要求：针对专业特点和专业要求，力求以概率论的观点来讲述随机过程的理论，逐步培养学生利用随机过程的理论和技能解决应用概率问题。培养学生运用随机过程的方法分析问题、解决问题的能力。

二、课程讲义及历年考题

第1章 预备知识

第2章 随机过程的基本概念和类型

第3章 Poisson过程

第4章 更新过程

第5章 Markov链

第6章 鞅

第7章 Brown运动

第8章 随机积分

历年考题（2008、2009、2010）

三、教学进度及内容

分15讲授课，每讲3个学时，第16次课程进行最终考核。内容安排如下：

第一讲 概述和泊松过程

1. 随机过程的基本概念和基本类型
2. 泊松过程的两个等价定义

第二讲 泊松过程

1. 与泊松过程相联系的若干分布
2. 泊松过程的推广：非齐次泊松过程、复合泊松过程、条件泊松过程

第三讲 更新过程

1. 更新过程的定义
2. 更新函数
3. 更新方程
4. 更新推理

第四讲 更新过程

1. 更新定理：初等更新定理、布莱克威尔定理、关键更新定理
2. 更新过程的推广：延迟更新定理、更新酬劳过程、交错更新过程

第五讲 Markov链

1. Markov链和Markov性的定义，Markov链的特征及条件
2. Markov链转移概率矩阵
3. Chapman–Kolmogorov方程
4. Markov链中相通、类、周期、常返态、瞬时态、正常返、零常返等概念

第六讲 Markov链

1. 赌徒输光模型概率转移问题
2. 极限定理

第七讲 Markov链

1. 极限定理
2. Markov链的不变分布
3. 分支过程：单个个体开始的群体灭绝的概率求解问题

第八讲 Markov链

1. 人口结构变化的Markov链模型
2. 连续时间的Markov链
3. 生灭过程
4. Kolmogorov微分方程

第九讲 鞅

1. 条件期望的概念和基本性质
2. 上鞅、下鞅和鞅的概念
3. 停时的概念

第十讲 鞅

1. 停时定理
2. 运用停时定理来解决赌徒模型中的问题
3. 一致可积性的含义和判别条件
4. 停时定理的应用

第十一讲 鞅

1. 鞅收敛定理
2. 利用鞅收敛定理来解决分支过程、随机游走以及Polya模型的问题
3. 连续鞅的含义和性质
4. 鞅在Lundberg-Cramer破产模型中的应用

第十二讲 布朗运动

1. 布朗运动和随机游走的联系
2. 布朗运动过程的定义
3. 布朗运动路径的性质
4. 布朗运动在[0, t]二次变差为t

第十三讲 布朗运动

1. Gauss过程
2. 布朗运动的鞅性质
3. 布朗运动过程中的击中时和布朗运动的最大值变量

第十四讲 布朗运动

1. 布朗桥
2. 在一个值处被吸收的布朗运动
3. 在原点反射的布朗运动
4. 几何布朗运动
5. 有漂移的布朗运动

第十五讲 伊藤积分和期权定价公式

1. 伊藤积分
2. BS期权定价公式

四、推荐书目

• Ross, Stochastic Processes, 2nd edition, Wiley
• Lawler, Introduction to Stochastic Process, 2nd edition, Chapman & Hall/CRC.
• William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, 3rd Edition, Wiley.
• William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 2nd Edition, Wiley.

详情参见指定教材247页文献评注及参考文献。