【2.18更新】:楠神写了一个非常gelivable的Shiny应用,用来动态展示图片压缩的效果随k的变化情况。谢大大把这个应用放到了RStudio的服务器上,大家可以点进去玩玩看了。

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今天我们来讲讲奇异值分解和它的一些有意思的应用。奇异值分解是一个非常,非常,非常大的话题,它的英文是 Singular Value Decomposition,一般简称为 SVD。下面先给出它大概的意思:

对于任意一个\(m \times n\)的矩阵\(M\),不妨假设\(m > n\),它可以被分解为

$$M = UDV^{T}$$

其中

  • \(U\) 是一个\(m \times n\)的矩阵,满足\(U^{T}U = I_{n}\)\(I_{n}\)\(n \times n\)的单位阵
  • \(V\) 是一个\(n \times n\)的矩阵,满足\(V^{T}V = I_{n}\)
  • \(D\) 是一个\(n \times n\)的对角矩阵,所有的元素都非负

先别急,我看到这个定义的时候和你一样晕,感觉信息量有点大。事实上,上面这短短的三条可以引发出 SVD 许多重要的性质,而我们今天要介绍的也只是其中的一部分而已。

前面的表达式\(M = UDV^{T}\)可以用一种更容易理解的方式表达出来。如果我们把矩阵\(U\)用它的列向量表示出来,可以写成

$$U = (u_1, u_2,\ldots, u_n)$$

其中每一个\(u_i\)被称为\(M\)的左奇异向量。类似地,对于\(V\),有

$$V = (v_1,v_2,\ldots,v_n)$$

它们被称为右奇异向量。再然后,假设矩阵\(D\)的对角线元素为\(d_i\)(它们被称为\(M\)的奇异值)并按降序排列,那么\(M\)就可以表达为

$$M = d_1u_1v_1^T + d_2u_2v_2^T + \cdots + d_nu_nv_n^T = \sum_{i=1}^n d_iu_iv_i^T = \sum_{i=1}^n A_i$$

其中\(A_i = d_iu_iv_i^T\)是一个\(m \times n\)的矩阵。换句话说,我们把原来的矩阵\(M\)表达成了\(n\)个矩阵的和。

这个式子有什么用呢?注意到,我们假定\(d_i\)是按降序排列的,它在某种程度上反映了对应项\(A_i\)\(M\)中的“贡献”。\(d_i\)越大,说明对应的 \(A_i\)\(M\)的分解中占据的比重也越大。所以一个很自然的想法是,我们是不是可以提取出\(A_i\)中那些对\(M\)贡献最大的项,把它们的和作为对 \(M\)的近似?也就是说,如果令

$$ M_k = \sum_{i=1}^k A_i$$

那么我们是否可以用\(M_k\)来对\(M_n \equiv M\)进行近似?

答案是肯定的,不过等一下,这个想法好像似曾相识?对了,多元统计分析中经典的主成分分析就是这样做的。在主成分分析中,我们把数据整体的变异分解成若干个主成分之和,然后保留方差最大的若干个主成分,而舍弃那些方差较小的。事实上,主成分分析就是对数据的协方差矩阵进行了类似的分解(特征值分解),但这种分解只适用于对称的矩阵,而 SVD 则是对任意大小和形状的矩阵都成立。(SVD 和特征值分解有着非常紧密的联系,此为后话)

我们再回顾一下,主成分分析有什么作用?答曰,降维。换言之,就是用几组低维的主成分来记录原始数据的大部分信息,这也可以认为是一种信息的(有损)压缩。在 SVD 中,我们也可以做类似的事情,也就是用更少项的求和\(M_k\)来近似完整的\(n\)项求和。为什么要这么做呢?我们用一个图像压缩的例子来说明我们的动机。

我们知道,电脑上的图像(特指位图)都是由像素点组成的,所以存储一张 1000×622 大小的图片,实际上就是存储一个 1000×622 的矩阵,共 622000 个元素。这个矩阵用 SVD 可以分解为 622 个矩阵之和,如果我们选取其中的前 100 个之和作为对图像数据的近似,那么只需要存储 100 个奇异值\(d_i\),100 个\(u_i\)向量和 100 个\(v_i\)向量,共计 100×(1+1000+622)=162300个 元素,大约只有原始的 26% 大小。

【注:本文只是为了用图像压缩来介绍 SVD 的性质,实际使用中常见的图片格式(png,jpeg等)其压缩原理更复杂,且效果往往更好】

为了直观地来看看 SVD 压缩图像的效果,我们拿一幅 1000×622 的图片来做实验(图片来源:http://www.bjcaca.com/bisai/show.php?pid=33844&bid=40

SVD演示图片,原图 svd_1 svd_5 svd_20 svd_50 svd_100

可以看出,当取一个成分时,景物完全不可分辨,但还是可以看出原始图片的整体色调。取 5 个成分时,已经依稀可以看出景物的轮廓。而继续增加\(k\)的取值,会让图片的细节更加清晰;当增加到 100 时,已经几乎与原图看不出区别。

接下来我们要考虑的问题是,\(A_k\) 是否是一个好的近似?对此,我们首先需要定义近似好坏的一个指标。在此我们用\(B\)\(M\)之差的 Frobenius 范数 \(||M – B||_F\) 来衡量\(B\)\(M\) 的近似效果(越小越好),其中矩阵的 Frobenius 范数是矩阵所有元素平方和的开方,当其为 0 时,说明两个矩阵严格相等。

此外,我们还需要限定 \(A_k\) 的“维度”(否则 \(M\)就是它对自己最好的近似),在这里我们指的是矩阵的。对于通过 SVD 得到的矩阵\(M_k\),我们有如下的结论:

在所有秩为\(k\)的矩阵中,\(M_k\)能够最小化与\(M\)之间的 Frobenius 范数距离。

这意味着,如果我们以 Frobenius 范数作为衡量的准则,那么在给定矩阵秩的情况下,SVD 能够给出最佳的近似效果。万万没想到啊。

在R中,可以使用 svd() 函数来对矩阵进行 SVD 分解,但考虑到 SVD 是一项计算量较大的工作,我们使用了 rARPACK 包中的 svds() 函数,它可以只计算前 $k$ 项的分解结果。完整的 R 代码如下:

library(rARPACK);
library(jpeg);

factorize = function(m, k)
{
    r = svds(m[, , 1], k);
    g = svds(m[, , 2], k);
    b = svds(m[, , 3], k);
    return(list(r = r, g = g, b = b));
}

recoverimg = function(lst, k)
{
    recover0 = function(fac, k)
    {
        dmat = diag(k);
        diag(dmat) = fac$d[1:k];
        m = fac$u[, 1:k] %*% dmat %*% t(fac$v[, 1:k]);
        m[m < 0] = 0;
        m[m > 1] = 1;
        return(m);
    }
    r = recover0(lst$r, k);
    g = recover0(lst$g, k);
    b = recover0(lst$b, k);
    m = array(0, c(nrow(r), ncol(r), 3));
    m[, , 1] = r;
    m[, , 2] = g;
    m[, , 3] = b;
    return(m);
}

rawimg = readJPEG("pic2.jpg");
lst = factorize(rawimg, 100);
neig = c(1, 5, 20, 50, 100);
for(i in neig)
{
    m = recoverimg(lst, i);
    writeJPEG(m, sprintf("svd_%d.jpg", i), 0.95);
}

参考文献

  1. Image Compression with the SVD in R
  2. Foundations of Data Science
  3. SVD维基页面

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