Erich L. Lehmann ：一份传记备忘录

统计学起源于物理学、生物学和社会科学的许多学科的汇合。粗略地说，它可以被认为是使用概率模型和随机变化的度量分析数据的理论和实践。统计学中出现的著名名字包括 Bernoulli, Laplace, Gauss, Boltzman, Mendel, Quetelet 和其他许多人。现代数理统计理论的基础主要是在二十世纪由 R. A. Fisher , J. Neyman 和 A. Wald 奠定的。这些创始人和其他奠基者的思想，如 H. Jeffreys 和 L. J. Savage 以各种方式复兴的贝叶斯方法，产生了一幅令人兴奋但有些混乱的画面。下一代人需要将这些想法纳入一个新的研究人员可以融入的系统。这种系统化是 Erich L. Lehmann 的伟大成就。他于1959年首次出版的两本书 Testing Statistical Hypoth­eses (TSH) 和1983年首次出版的 Theory of Point Estimation (TPE) 是世界上大部分地区几代学生学习该领域的基本研究生教材。随着统计学在稳健性和半参数统计等新思想和领域的发展，当然也包括莱曼自己的后续研究，这两本书得到了丰富。莱曼自己不仅直接为这些领域做出了贡献，也通过他的学生做到了这一点，关于这方面的内容我们将在后面讨论。他吸引了更年轻的合作者丰富他的著作的后期版本，如 G. Casella 对 TPE¹ 的贡献和 J. Romano 对 TSH²  的贡献。这些书跟上了时代，而基本的结构和风格仍然是 Lehmann 独有的。

我们现在来谈谈他的生活。他在他的回忆录 Reminiscences of a Statis­tician: The Company I Kept 中，通过与创始人、该领域的开创性人物和各种同事的互动，展示了他一生中统计学的发展。这本回忆录发表于2008年，就在他去世前一年³。

Lehmann 于1917年11月20日出生在阿尔萨斯-洛林的斯特拉斯堡，而他的父亲在第一次世界大战期间是德国军队的一名军官。他的家族是犹太人后裔，自中世纪以来一直住在法兰克福。1933年希特勒在德国掌权时，他们从法兰克福逃到瑞士苏黎世。他在苏黎世完成了高中学业。和他这一代人以及我们中的一些人一样，他以一种迂回的方式来到了统计领域。他的第一个爱好是德语，他希望在苏黎世大学学习。他的父亲向他指出，在希特勒掌权的情况下，他在这一领域成为学者的机会是有限的；而他对数学也很感兴趣，数学能够提供更好的职业机会。虽然数学只是他的第二个爱好，但他在这方面表现出了天赋，例如在高中发现（但不是证明）费马小定理。在运气和深思熟虑后的决定的结合下，他逃离了欧洲第二次世界大战初期的大熔炉，最终来到了美国。最开始他曾在英国剑桥大学的学习本科数学，但他并不喜欢数学物理。他出生在斯特拉斯堡，这对他来说是非常幸运的事，因为他能够凭利希滕斯坦签发的护照，以之后很快就空缺的法国的名额进入美国。1941年时，尽管他缺少本科学位，他结束了学业，成为加利福尼亚大学伯克利分校数学系的一名研究生。在那里，他又一次在“初恋”纯数学，尤其是数理逻辑和以统计形式出现的应用数学之间左右为难，在这之中他对后者不太关心。正如他在接受 M. H. DeGroot 采访时所说：¹

当我想摆脱统计学时，我不喜欢的一个方面是统计学的应用风格。统计学是一种与现实世界的联系，而不是一种理想的抽象东西。我总是觉得我所拥有的能力更多在抽象方面。但奇怪的是，这些年来，我开始喜欢统计的应用方面。我喜欢考虑与实际情况相关的统计数据，而不是完全抽象的。因此，我在统计学方面的职业生涯实际上比我以任何理由期望的要好。我想你会发现，在我们这一代人中，每个人都以一种特殊的方式接触统计，因为这个学科实际并不存在。

特别是在第二次世界大战开始时，出于非常重要的实际方面的考虑， Lehmann 成为了 Jerzy Neyman 的学生。 Jerzy Neyman 不仅是现代统计学的创始人之一，也是数学系中统计组的创始人，后来又是统计系的创始人。在关岛担任航空摄影分析员后，他于1945年回到伯克利，于1947年获得数学博士学位后加入数学系。当他还是一名学生时，他介绍了1947年出现的一个基本思想⁵，这是决策过程最小完整类的概念，它成为 Abraham Wald 发展出的理论的支柱。与此同时，他开始了标志着其职业生涯的众多合作之一，这次是与时任来访的古根海姆研究员的 Henry Scheffé 合作。早在1947年他们就在 Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS) 上发表了一篇论文，但他们在1950年后期的论文中更充分地发展了他们的工作，将先前观察到的许多不同现象统一起来，并提出了充分统计的完备性。这些作品已经表明， Lehmann 把他的抽象天赋带到了统计学中。与 Scheffé 的合作也表现出一个基本特征，即 Lehmann 非常热爱与他人合作。这种热爱表现在许多重要的合作论文中，以及他指导的一组非常庞大且令人印象深刻的博士论文中（43篇）。在我们进一步讨论他的主要研究贡献之后，我们将会回到这个话题。从1947年到1959年， Lehmann 主要关注点放在如何建立他对 Wald 决策理论的综合观点，以及 Neyman 和某种程度上 Fisher 的更为经典的检验和置信域方面的观点。

除了我们提到的与 Scheffé 的合作外， Lehmann 在1948年至1953年期间独自以及在和 Charles Stein 合作中开发了复合假设的检验⁸。这一检验的特点在于，他们开发了一种非常通用的方法，用于构建符合公认标准的最佳测试，然后将该方法应用于许多重要情况，产生了一些预期中结果和一些相当令人惊讶的结果。在他们的下一个主要工作中⁹，他们第一次开始使用统计问题在一组变换下不变性的强大概念，并开发了一个框架，在该框架中，他们首次建立了 Fisher 置换检验与 Neyman 和 Wald 的最优性原则之间的联系。此外，他还了解到 Stein 与 G. Hunt 在极小性和不变性方面未发表的著作。在他1959年和1983年出版的书中，他展示了这个框架如何为统计，检验与估计这两大支柱中的大批问题提供统一的理解。

Lehmann 开始与他一生中的主要合作者 J. L. Hodges Jr. 合作。在1944年，也就是二战期间， Hodges 和 Lehmann 在关岛的一个操作分析小组共事。1947年，也就是 Lehmann 获得教职的同一年， Hodges 作为学生来到伯克利大学数学系，并于1949年获得博士学位。 Lehmann 将他们的合作关系描述为一对互补的思考者。他把 Hodges 描述为一位“问题解决者”，而他认为自己是一位“系统建设者”。他们首先专注于当时统计的另一个主要领域，即点估计，并很快做出了卓越的贡献。他们通过一个意外的微分不等式发现正态样本的均值可以作为总体均值的估计值。此处的可采性意味着任意估计值的均方误差小于均值，并且对于总体均值的某些值，其均方误差严格小于均值。这一结果是意料之中的，但在 Lehmann 和 Hodges 发现这种方法和 Lehmann 的博士生 Colin Blyth 提出平行但完全不同的论点之前，没有证据可以用来证明这一结果。这些论点间接地启发了 Stein 后续著名的结果，即可采性仅对1维或2维高斯样本有效，而对3维以上的高维样本失效。反过来，这就产生了过程规范化的思想，它在当今高维统计问题中仍然发挥着关键性作用。第二篇文章通过构造例子说明了 Wald 极小极大观点的不足¹²。另一个看似纯技术性的结果在概念上对当前的基本随机梯度下降算法起到了重要作用¹³。他们的另一个概念上的合作开始探索贝叶斯学派观点和频率学派观点之间的折衷¹⁴。另外两篇关于检验和多重比较方向的论文结束了他们最初的合作^{15, 16}。他们下一阶段的合作和 Lehmann 学术兴趣的新阶段开始于他们对非参数方法的深入分析¹⁷。

“非参数”一词在20世纪50年代开始广泛使用。它指的是与我们从分布完全未知的实验个体中观察到一个或多个样本的情况相对应的模型。 Fisher 和其他统计学家曾无意中考虑了这些模型。该领域的早期工作由 Kolmogorov, Smirnov, Pitman, Wilcoxon, Mann, Whitney 和 Hoeffding 等人完成。

最令人感兴趣的是两个样本来自同一总体的假设。可以构造检验，使I型错误的概率，即对该假设作出错误判断的概率，不依赖于抽取样本的未知分布。这种检验被称为非参数检验。

20世纪50年代中期， Hodges 和 Lehmann 将注意力转向了非参数检验的功效的问题。事实上， Hodges 和 Lehmann 专注于现在所谓的“半参数模型”。我们追求的一个例子是双样本模型，该模型规定一个群体的样本分布是通过另一个群体的样本恒定的但未知的偏移获得的。 Hodges 和 Lehmann 将重点放在统计检验上，以验证偏移为零的假设，或者等效地说，这两个样本来自同一总体。这就是一个在给定偏离假设的一些模型和一项非参数检验中，正确判定原假设为假的概率是多少的问题。他们在这两个样本转换模型的背景下展开研究。例如，当比较两种治疗（其中一种可能是安慰剂）时，这种模型可能是合适的。对于来自两个总体的样本，通过使用来自两个样本的响应的组合秩构建了非参数检验。其中一个测试是 Wilcoxon 测试，它基于一个样本的秩的总和。在1956年的论文中¹⁷， Hodges 和 Lehmann 使用 Pitman 效率（达到相同功效所需的样本大小的比）的概念研究了该检验的渐近功效的特性，以比较 Wilcoxon 检验和广泛使用的 $t$ 检验的功率，这是两个给定总体的最佳高斯假设。令人惊讶的是，他们发现，对于大样本量，尽管秩无法表征关于每个样本的全部信息，但当总体为正态分布时，效率为0.955。此外，对于任意总体，它的下限为0.864，甚至可以任意高。这一结果表明，使用基于秩的检验可以获得很多而损失很少。在本文中， Hodges 和 Lehmann 推测，如果在假设下将秩变换为近似正态分布（称为正态分数），则效率的下界将为1，并且对于除正态分布以外的所有分布，效率的下界都将大于1。1958年， Chernoff 和 Savage 证实了这一推测。这种基于秩的方法的高效性在发现后，引发了持续了几十年的一系列相关领域的研究，最开始是由 Hodges 和 Lehmann 领导，随后是其他人。他们1956年的结果被证明适用于许多双样本问题和相应的秩检验，并扩展到双样本案例之外的许多情况。

他们对估计和置信程序做出了特别重要的扩展。1963年， Hodges 和 Lehmann 提出了一种非常新颖的方法，该方法基于两个样本实验中移位参数的秩检验统计量，构造了与置信区间相对应的估计方程¹⁸。他们发现，为秩检验建立的 Pitman 效率在估计中可通过渐近均方误差的比进行测量。特别地，基于正常分位数统计的估计的效率在1以下。基于 Wilcoxon 统计的估计具有简单直观的形式，也被称为 Hodges-Lehmann 估计。1963年， Lehmann 将这些结果推广到置信度检验，并在一系列论文中系统地将其推广到线性模型^19-22。许多研究人员，包括 Lehmann 的学生，已经将这些基本思想和结果扩展到更一般的框架中。 Hettmansperger 和 McKean 在2010年出版的一本书， Robust Nonparametric Statistical Methods²³ 涵盖了 Hodges-Lehmann 基本思想的许多扩展，其中包括了 Jureckova 的贡献^24、25。

Hodges 和 Lehmann 在这个领域中持续做出了许多贡献。1970年，他们注意到了一个令人惊讶的现象，例如在某些情况下，将 $t$ 检验和为比较具有相同已知方差的正态总体而设计的 $z$ 检验之间进行比较时，在 $z$ 检验假设下， Pitman 效率为1，而且达到相同功效所需的样本量差异保持有限。²⁶ 他们建议结合秩检验和相关估计来研究这种现象。这方面的研究是由 Bickel 和 van Zwet 在19781年完成的。²⁷

1966年， Lehmann 发表了一篇非常有影响力的论文，论述了随机变量对分布之间的依赖关系和顺序关系的概念²⁸。从1974年开始，这个想法逐渐演变成了参数表征一般理论中单个元素非参数框架中总体的基本属性。例如，在和 Bickel 的共同研究中，他将均值和中位数共有的属性抽象为总体中心的度量²⁹。一个令人惊讶的结果是，在有界情况、给定概率时，置信区间能够包含 Lehmann 提取的中心度量的所有取值³⁰。 Lehmann 曾评价自己为一名“系统建设者”，他也确实是这么做的。在1975年，他出版了一本很棒的书， Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks ，³¹概括了他和 Hodegs 的研究以及其他人在非参数统计蓬勃发展中做出的工作。在20世纪70年代末，他回到了一个他早年间曾与 Hodegs 短暂合作过的领域，即多重比较。他和他的妻子 Julie Shaffer （也是一位统计学家）共同从事这项工作³²。 Lehmann 对这个领域的兴趣，反映出即便是在“需要根据数据来做出决策”的大数据时代，他对统计学发展方向的认识也始终紧跟着时代的步伐。

著述

Lehmann 的 Testing Statistical Hypotheses (TSH) 于1959年首次出版，1986年出版第二版，2005年与 Joe Romano 共同出版第三版；他的 Theory of Point Estimation (TPE) 于1983年首次出版，而早在20世纪50年代末就有这本书的笔记，在1998年则与 George Casella 共同出版了第二版。这两本书为两代研究生的数理统计提供了统一的理论基础。两本书都是基于 Wald 决策理论观点，概括了 Neyman 和 Pearson 检验的原则。随着新类型数据和问题的出现，处理这些问题的崭新的和复兴的旧方法的领域也不断扩大，统计模型的丰富性和规模也在增长。例如：非参数方法和模型、大样本近似、 Bayes 和经验 Bayes 方法、解决方案的稳健性以及多重比较，这些方法随着数据量、数据复杂性的增加以及之前的简单假设不在适用新情景而逐渐脱颖而出。非参数和稳健的方法反映我们对生成过程仍然缺乏了解，它们的分析只能通过不对称近似实现。 Bayes 方法和经验 Bayes 方法通过隐式降低数据空间和概率模型的维数，使我们摆脱了诸如最大似然法之类的方法，这些方法往往在高维数据和参数空间中失效。虽然 Lehmann 的研究工作只涉及其中的一些观点，但他意识到这些观点的重要性，并将其纳入了他的经典著作中。书籍的种类和大小随着理论的发展成比例地增加。 TSH 从1959年的350页增长到2006年的近800页， TPE 从500页增长到600页。 Lehmann 更重要的一本书 Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks ，在前面的章节我们已经提到过。

Lehmann 的统计哲学

Lehmann 的观点在他一生中有了很大的发展。正如他在回忆录中写道的那样，“……我作为 Neyman 学生接受的第一次统计学教育，后来受到了 Fisher 的思想的补充。”他的智力倾向与 Wald 在统计学领域基础而严格数学方法产生了共鸣，而对于与频率学派相对的主观概率观点，他并不感兴趣，但他对 Bayes 以及其他方法作为生成过程的一种方式感到十分满意。随着时间的推移，他意识到 Fisher 在这一领域的基础的创造即使不是完全严格的，却也是很深刻的。

Lehmann 的学生

Lehmann 喜欢与人交往。这一点不仅可以从他大量的合作出版物和一长串博士生名单中得到证明，还可以从一篇文章和一本书中得到佐证。这篇文章记述了对他产生影响的人，更广泛地说，是他漫长的知识生活中的居民。 Lehmann 指导了43名博士生，其中一些人也从事学术事业，并拥有了自己的博士生。他的学术后代数以千计。 Lehmann 的学生来自世界各地。在他的回忆录中这样写道，“大多数人是美国人，也有许多人来自亚洲，特别是印度、台湾地区和韩国，其他人来自欧洲：挪威、法国和德国；还有一些人来自以色列。” Lehmann 在他的回忆录中还详细介绍了他与学生合作的个人收获。他写道，“我发现与博士生一起工作非常有益。他们极大地丰富了我的研究，其中一些人成为了我的终身朋友。”他接着详细描述了他的第一个学生 Colin Blyth “如何深刻地影响了我的生活和生活。” Blyth 把 Lehmann 在“检验统计假设”这门课上的讲稿转化成为书面材料， Lehmann 后来将这些书面材料整理成他的著作 TSH 。在回忆录中，他接着写道，“我的一些学生成为了我的终身朋友，有时也成为了合作者。我与 Wei-Yin Loh 和 Fritz Scholz 共同撰写论文，并与 Peter Bickel 合作多年。我与我的最后一个学生 Javier Rojo 也建立了密切的关系。”为了纪念他的才华、支持和他们之间友谊， Lehmann 的学生和同事们为他出版了纪念文集³⁵，并组织了四次研讨会^36–39。

Erich Lehmann 和 Ritov, Bickel 在莱斯大学 (Rice University) 的聚会上，摄于休斯顿，2007年 (照片来自 Lehmann 的家人)

Lehmann 在事业上获得很多荣誉，包括1975年选为美国艺术与科学院院士，1978选为美国国家科学院院士。这两项荣誉可以称得上是对整个统计学界的荣誉。他还有两个荣誉博士学位，其中1985年他获得莱顿大学博士学位，1991年获得芝加哥大学博士学位。 Lehmann 很欣赏这些荣誉，但他仍然保持着他沉默寡言和谦虚的性格。他的科学成就和个人遗产将永垂不朽。

Lehmann 的 65岁生日宴会，摄于1982年 (照片来自 Lehmann 的家人)

后记

令人遗憾的是，我的合著者 K. A. Doksum 在写作这篇文章期间染疾去世了。我们无法继续这次合作，但在写作期间，我们曾互相欣赏，互相尊重。永远怀念 K. A. Doksum。

原文链接

http://www.nasonline.org/publications/biographical-memoirs/memoir-pdfs/lehmann-erich.pdf

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