揭秘统计软件如R,Octave,Matlab等使用的随机数发生器,然后做一些统计检验,再将其应用到独立随机变量和的模拟中,最后与符号计算得到的精确结果比较。除特别说明外,文中涉及到的随机数都是指伪随机数,发生器都是指随机数发生器。

背景

随机数的产生和检验方法是蒙特卡罗方法的重要部分,另外两个是概率分布抽样方法和降低方差提高效率方法。在20世纪40年代中期,当时为了原子弹的研制,乌拉姆(S.Ulam)、冯诺依曼(J.von Neumann) 和梅特罗波利斯(N. Metropolis) 在美国核武器研究实验室创立蒙特卡罗方法。当时出于保密的需要,与随机模拟相关的技术就代号“蒙特卡罗”。早期取得的成果有产生随机数的平方取中方法,取舍算法和逆变换法等。这两个算法的内容见统计之都王夜笙的文章

随机数生成

讲随机数发生器,不得不提及一个名为Mersenne Twister(简称MT)的发生器,它的周期长达$2^{19937}-1$, 现在是R 、Octave 和Matlab 等软件(较新版本)的默认随机数发生器1

Matlab通过内置的rng函数指定不同的发生器,其中包括1995年Matlab采用George Marsaglia 在1991年提出的借位减(subtract with borrow,简称SWB)发生器。在Matlab中,设置如下命令可指定发生器及其状态,其中1234是随机数种子,指定发生器的状态,目的是重复实验结果,v5uniform是发生器的名字。

rng(1234, 'v5uniform')

Octave通过内置的rand函数指定发生器的不同状态,为获取相同的两组随机数,state参数得设置一样,如1234(你也可以设置为别的值)。Octave已经放弃了老版本内置的发生器,找不到命令去指定早期的发生器,这个和Matlab不一样。

rand ('state',1234)
rand(1,5)

   0.9664535   0.4407326   0.0074915   0.9109760   0.9392690

rand ('state',1234)
rand(1,5)

   0.9664535   0.4407326   0.0074915   0.9109760   0.9392690

Python的numpy模块也采用MT发生器,类似地,通过如下方式获得相同的两组随机数

import numpy as np
a = np.random.RandomState(1234)
a.rand(5)
array([ 0.19151945,  0.62210877,  0.43772774,  0.78535858,  0.77997581])

a = np.random.RandomState(1234)
a.rand(5)
array([ 0.19151945,  0.62210877,  0.43772774,  0.78535858,  0.77997581])

R的默认发生器也是MT发生器,除了设置随机数种子的seed参数,还可以通过kind参数指定其他发生器,normal.kind参数指定产生正态分布随机数的发生器,下面也使用类似的方式产生两组完全一样的随机数。

set.seed(seed, kind = NULL, normal.kind = NULL)
set.seed(1234,kind = "Mersenne-Twister", normal.kind =  "Inversion") # 默认参数设置
runif(5)
[1] 0.1137034 0.6222994 0.6092747 0.6233794 0.8609154

set.seed(1234,kind = "Mersenne-Twister", normal.kind =  "Inversion") # 默认参数设置
runif(5)
[1] 0.1137034 0.6222994 0.6092747 0.6233794 0.8609154

SWB发生器中“借位相减”步骤是指序列的第$i$个随机数$z_{i}$要依据如下递推关系产生,$$z_{i}=z_{i+20}-z_{i+5}-b$$ 下标$i,i+20,i+5$都是对32取模的结果,$z_{i+20}$$z_{i+5}$做减法运算,$b$是借位,其取值与前一步有关,当$z_i$是正值时,下一步将$b$置为0,如果计算的$z_i$是负值,在保存$z_i$之前,将其值加1,并在下一步,将$b$的值设为$2^{-53}$

下面关于随机数生成的效率和后面的统计检验,都以生成$2^{24}$个为基准,是1600多万个,取这么多,一方面为了比较编程语言实现的发生器产生随机数的效率,另一方面是后面的游程检验需要比较大的样本量。

Matlab内置的发生器及大部分的函数,底层实现都是C或者Fortran,MathWorks创始人Cleve B. Moler是数值分析领域著名的LINPACK和EISPACK包的作者之一,他当年做了很多优化和封装,进而推出Matlab,只要是调用内置函数,效率不会比C差,自己写的含有循环、判断等语句的代码,性能就因人而异了,对大多数人来说,性能要比C低。这里比较Matlab内置SWB发生器(就当作是C语言实现的好了)和用Matlab重写的SWB发生器的效率,代码如下:

% matlab code
tic % 大约几秒
rng(1234, 'v5uniform') % 调用SWB发生器
x = rand(1,2^24);
toc
% octave code
id = tic % 时间耗费大约一小时
randtx('state',0)
x = randtx(1,2^24);
toc (id)

randtx不是Matlab和Octave内置的函数,而是Cleve B. Moler基于Matlab实现的SWB发生器,也是100多行包含嵌套循环等语句的Matlab代码打包的函数,上面的代码运行时间差异之大也就不难理解了,为了能在Octave上跑,我做了少量修改,Octave软件版本为4.2.1,安装Octave时,Blas选择OpenBlas,为了后续检验,在获得随机数后,将其保存到磁盘文件 random_number.mat

save -mat random_number.mat x 

R,Octave,Matlab和Python内置的发生器都是MT发生器,与之实现有关的数学库,也是Blas,虽然有开源和进一步优化的商业版本之分,但是矩阵乘法,向量乘法之类运算的效率也就半斤八两,Julia语言官网给出了一个标准测试2

不同语言性能

不同语言的性能表现(C语言在算法中的表现为基准,时间记为1.0)

这里再给出用C语言实现的MT发生器,产生同样多的随机数,只需要10秒左右,其中包含编译和写随机数到文件的时间,实际产生随机数的时间应该远小于这个时间。(程序运行环境环境Dev-C++ 5.11,用64位的GCC编译)。

统计检验

随机数的检验是有一套标准的,如 George Marsaglia 开发的 DieHard 检验程序,检验的内容很丰富。这篇文章只能算初窥门径,R内产生真随机数的包是 Dirk Eddelbuettel 开发的 random包,它是连接产生真随机数网站的接口。

相关性检验

先来一个简单的,就用 R 产生的两个独立同均匀分布样本,调用 cor.test 做相关性检验,看看这两组数是不是足够独立同分布,通过眼球验证,随着样本量增大,相关性趋于0,相关性弱到可以视为独立。如下图所示

library(ggplot2)
library(viridisLite)
library(viridis)
set.seed(1234)
corr <- rep(0, 1000) 
for(i in seq(from = 1000, to = 1000000, by = 1000)) {  
	corr[i/1000] <-  cor.test(runif(i, min = 0, max = 1),                            
		runif(i, min = 0, max = 1))$estimate} 
ggplot(data.frame(x = seq(1000), y = corr), aes(x = x, y = y)) +   
	geom_hex(show.legend = FALSE) + 
	scale_fill_viridis(direction = -1) + xlab("Sample size *10^3") + ylab("Correlation") 

image

分布检验

检验产生的随机数是否服从指定的分布:原假设是样本来自指定的分布,计算的P值比较大,就不能拒绝原假设。

ks.test(runif(1000), "punif") # 分布检验
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: runif(1000)
## D = 0.022302, p-value = 0.7025
## alternative hypothesis: two-sided

检验两样本是否来自同一分布:原假设是两样本来自同一分布,计算的P值比较小,就表示两样本不是来自同一分布。

ks.test(runif(1000), runif(1000)) # 同分布检验
##
## Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: runif(1000) and runif(1000)
## D = 0.04, p-value = 0.4005
## alternative hypothesis: two-sided

从结果来看,R内置的随机数发生器通过了检验(嘿嘿,这是肯定的!!)。

游程检验

游程检验对随机数序列的随机性检验,不对序列做任何分布假设,不同于上面的相关性检验和省略没讲的特征统计量(如均值和方差)的检验。先对随机性略作解释,简单起见,我们考虑0-1序列,抛掷均匀的硬币1000次,正面向上记为1,反面向上记为0,这是一个离散的均匀分布,每一次抛掷硬币都无法准确地判断出现的是正面还是反面,若记录的序列中0和1相对集中的出现,不是随机,0和1交替出现,呈现周期性也不是随机,除了这两种情况基本就是随机了。

游程检验的原假设是序列满足随机性,序列一旦生成,就是有序的,因为游程检验需要固定位置,再数上升(下降)的游程数,当计算的P值比较大时,不能拒绝原假设,即不能否认这个序列是随机的。对上述0-1序列进行模拟,然后检验,如下所示

library(tseries)
x <- sample(c(0, 1), 1000, replace = TRUE, prob = c(1/2, 1/2))
runs.test(factor(x))
##
## Runs Test
##
## data: factor(x)
## Standard Normal = 0.45116, p-value = 0.6519
## alternative hypothesis: two.sided

现在用游程检验比较SWB发生器(Octave/Matlab版)、MT发生器(R语言版)和MT发生器(C语言版)。对于一般的实数序列,得先指定一个阈值,记为delta,然后比较序列中的值和delta的大小关系,这里类似数上升或下降的游程长度(runs length),基于这样一个事实:如果序列表现随机,则序列中两个小于delta的值,间隔越远出现的次数越少。可以这样理解,还是以上面抛硬币的例子来说,出现了很多次正面,那么下一次抛掷倾向于出现反面,这是一条人人可接受的经验。

为了把这条经验可视化出来,对序列做如下操作:先给定阈值delta为0.01(也可以取别的值),取出序列中的值小于delta的位置,位置序列前面添加0,再差分,然后每个值减1,得到新序列,新序列中的值为0,表明原序列连续两个值小于delta,新序列中的值为1,表明间隔1个数小于delta,新序列中的值为2,表明间隔2个数小于delta,依次类推…..统计所有的情况,用直方图显示,这就获得游程长度与间隔的关系图(间隔数取到100足可示意)。

library(gridExtra)
library(R.matlab)
# 游程频数直方图
run_test_fun <- function(x, string, delta) {
  n <- length(x)
  len <- diff(c(0, which(x < delta), n + 1)) - 1 
  ggplot(data.frame(x = len[len < 101]), aes(x, fill = ..count..)) + 
  	scale_fill_viridis(direction = -1) + 
  	geom_histogram(binwidth = 1, show.legend = FALSE) + 
  	xlab(string) + ylab("") 
}
set.seed(1234) # R默认采用Mersenne Twister发生器
r_data <- runif(2^24, 0, 1); # R内生成均匀分布随机数
matlabv5_data <- readMat("random_number.mat") # 读取Octave生成的均匀分布随机数
temp <- read.table(file = "random_number.txt") # 读取C语言生成的均匀分布随机数 
c_data <- c(as.matrix(t(temp)))
p1 <- run_test_fun(x = r_data, string = "R", delta = 0.01)
p2 <- run_test_fun(x = matlabv5_data$x, string = "Matlab v5", delta = 0.01)
p3 <- run_test_fun(x = c_data, string = "C", delta = 0.01)
grid.arrange(p1, p2, p3, ncol=3)

image

从图中可以看出MT发生器通过了检验,SWT发生器没有通过,在间隔数为27的位置,有一条沟,按规律游程长度不应该减少这么多,这是因为SWB发生器“借位减”步骤,取模32的运算和5一起消耗了间隔为27的数量(读者可以按借位减的递推关系思考是如何消耗的),导致不符合随机性的要求,该算法细节参见Cleve B. Moler的书《Numerical Computing with MATLAB》第9章第267页

应用

两个均匀分布的统计模拟

随机变量 $X_{1},X_{2}\stackrel{iid}{\sim}$某分布(比如二项分布,泊松分布,正态分布,指数分布,卡方分布,伽马分布),则$X_{1}+X_{2}$也服从该分布。常见的均匀分布是否具有这样的可加性?具体地说,就是$X_{1},X_{2}\stackrel{iid}{\sim}U(0,1)$$X_{1}+X_{2}$ 是否服从$U(0,2)$ ? 如果有一台电脑在旁边,我首先想到的就是敲三五行代码,画个散点图、直方图,看图说话。

set.seed(1234) 
x <- runif(10000, min = 0, max = 1) 
y <- runif(10000, min = 0, max = 1) 
z <- x + y
plot(z) # 散点图
hist(z) # 直方图

为美观起见,从viridis包调用viridis调色板,颜色越深的地方,相应的数值越大,不管是此处 geom_hex 绘制的六角形热图,还是 geom_histogram 绘制的直方图,都遵循这个规律。

ggplot(data.frame(x = seq(10000), y = z), aes(x = x, y = y)) +   
	geom_hex(show.legend = FALSE) + 
	scale_fill_viridis(direction = -1) + xlab("") + ylab("")

image

显然这不是均匀分布,在 $z=1$ 处,散点比较集中,看起来有点像正态分布。如果往中心极限定理上靠,将作如下标准化$$Y_{2}^{\star}=\frac{X_1 + X_2 - 2*\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{1}{12}}*\sqrt{2}}=\sqrt{6}(X_1 + X_2 -1)$$$Y_{2}^{\star}$的期望为0,方差为1。

p4 <- ggplot(data.frame(x = z), aes(x, fill = ..count..)) +     
	scale_fill_viridis(direction = -1) +     
	geom_histogram(bins=20, show.legend = FALSE) + xlab("") + ylab("")  
p5 <- ggplot(data.frame(x = sqrt(6)*(z-1)), aes(x, fill = ..count..)) +     
	scale_fill_viridis(direction = -1) +     
	geom_histogram(bins = 20, show.legend = FALSE) + xlab("") + ylab("")  
grid.arrange(p4, p5, ncol=2)

image

只是变换后的图像和之前基本一致,那么现在看来眼球检验不好使了,那就上$P$值呗!

ks.test(sqrt(6)*(z-1), "pnorm") # 分布检验
##
## One-sample Kolmogorov-Smirnov test
##
## data: sqrt(6) * (z - 1)
## D = 0.025778, p-value = 3.381e-06
## alternative hypothesis: two-sided

也不是正态分布,既然如此,那就在两个随机变量的情况下,把精确分布推导出来。

精确分布的推导及计算

课本如《概率论与数理统计教程》 采用卷积的方法求分布函数,这种方法实行起来比较繁琐,也不利于后续编程,下面考虑用特征函数的方法求。我们知道标准均匀分布的特征函数$$\varphi(t)=\frac{e^{it}-1}{it}$$考虑$X_1$$X_2$相互独立,它们的和用$S_2$表示,则随机变量$S_2$的特征函数为 $$\varphi_2(t)=\varphi(t)*\varphi(t)=(\frac{e^{it}-1}{it})^2=\frac{2(1-\cos(t))e^{it}}{t^2}$$

只要满足条件

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\vert \varphi_2(t) \vert \mathrm{d} t < \infty$$

$S_2$的密度函数就可以表示为

$$p_2(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-itx}\varphi_2(t)\mathrm{d}t$$

经计算 $$\int_{-\infty}^{+\infty}\vert \varphi_2(t) \vert \mathrm{d} t=4\int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos(t)}{t^2}\mathrm{d}t=4\int_{0}^{+\infty}\big(\frac{\sin(x)}{x}\big)^2\mathrm{d}x=2\pi$$

那么 $$p_2(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-itx}\varphi_2(t)\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{(1-\cos(t))\cos(t(1-x))}{t^2}\mathrm{d}t=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\cos\big(2(1-x)t\big)\big(\frac{\sin(t)}{t}\big)^2\mathrm{d}t$$

一般地,$n$个独立随机变量的和

$$\varphi_n(t)=\big(\frac{e^{it}-1}{it}\big)^n=\big(\frac{\sin(t/2)\mathrm{e}^{\frac{it}{2}}}{t/2}\big)^n$$ 那么,同理 $$p_n(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\cos\big(2(n/2-x)t\big)(\frac{\sin(t)}{t})^n\mathrm{d}t$$

要说数值计算一个$p(x)$近似值,是一点问题没有!且看

integrate(function(t,x,n) 2/pi*cos((n-2*x)*t)*(sin(t)/t)^n ,x = 1,n = 2,
			lower = 0,upper = Inf,subdivisions = 1000) 
## 0.9999846 with absolute error < 6.6e-05			

那如果要把上面的积分积出来,获得一个精确的表达式,在$n=2$的时候还可以手动计算,主要使用分部积分,余弦积化和差公式和一个狄利克雷积分公式$\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(ax)}{x}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\mathrm{sgn}(a)$,过程略,最后算得

$$p_2(x)=\frac{1}{2}\big((2-x)\mathrm{sgn}(2-x)-x\mathrm{sgn}(-x)\big)-(1-x)\mathrm{sgn}(1-x)=\frac{1}{2}(\left | x \right |+\left | x-2 \right |)-\left | x-1 \right |,0<x<2$$

$p_2(x)$的密度函数图象如下:

fun_p2_1 <- function(x) { 1 / 2 * (abs(x - 2) - 2 * abs(x - 1) + abs(x)) }
fun_p2_2 <- function(x) { 
    x <- as.matrix(x)
    tempfun <- function(x) {
        integrate(function(t, x, n) 2 / pi * cos((n - 2 * x) * t) * (sin(t) / t) ^ n,
            x = x, n = 2,lower = 0, upper = Inf, subdivisions = 1000)$value
    }
   return( sapply(x,tempfun) )
}
ggplot(data.frame(x = c(0, 2)), aes(x = x)) +
    stat_function(fun = fun_p2_2, geom = "point", colour = "#2A768EFF") +
    stat_function(fun = fun_p2_1, geom = "line", colour = "#78D152FF") 

image

从图中可以看出,两种形式的密度函数在数值计算的结果上很一致,当$n=100,1000$时,含参量积分的表示形式就很方便啦!任意给定一个$n$,符号计算上面的含参量积分,这个时候还是用软件计算比较合适,R的符号计算仅限于求导,积分运算需要借助Ryacas,rSymPy,可惜的是,这些包更新缓慢,即使 $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin(at)}{t}\mathrm{d}t$也算不出来,果断直接使用Python的sympy模块

from sympy import * 
a=symbols('a', real = True)
t=symbols('t', real = True, positive = True)
print(integrate(sin(a*t)/t, (t, 0, oo)))

## Piecewise((pi/2, Eq(Abs(periodic_argument(polar_lift(a)**2, oo)), 0)), (Integral(sin(a*t)/t, (t, 0, oo)), True))

。。。初次见到这样的结果,是不是一脸mb,翻译一下,就是

$$ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{\pi}{2} & \text{for}\: \left|{\operatorname{periodic_{argument}}{\left (\operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (a \right )},\infty \right )}}\right| = 0 \\ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{t} \sin{\left (a t \right )}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*} $$

稍为好点,但是还是有一大块看不懂,那个绝对值里是什么3?还是不要纠结了,路远坑多,慢走不送啊!话说要是计算$p_2(x)$密度函数里的积分,

from sympy import * 
x=symbols('x', real=True)
t=symbols('t', real=True,positive=True)
print(integrate(2/pi*cos(2*t*(1-x))*(sin(t)/t)**2,(t,0,oo)))

## Piecewise((Piecewise((2*x, (2*x - 2)**2/4 < 1), (0, 4/(2*x - 2)**2 < 1), (meijerg(((1/2,), (1, 1, 3/2)), ((1/2, 1, 0), (1/2,)), polar_lift(-2*x + 2)**2/4), True))/2, Eq(Abs(periodic_argument(polar_lift(-2*x + 2)**2, oo)), 0)), (Integral(2*sin(t)**2*cos(2*t*(-x + 1))/(pi*t**2), (t, 0, oo)), True))

那就更长了。。。

$$ \begin{equation*} \begin{cases} \frac{1}{2} \begin{cases} 2 x & \text{for}\: \frac{1}{4} \left(2 x - 2\right)^{2} < 1 \\ 0 & \text{for}\: \frac{4}{\left(2 x - 2\right)^{2}} < 1 \\ {G_{4, 4}^{3, 1}\left(\begin{matrix} \frac{1}{2} & 1, 1, \frac{3}{2} \\\frac{1}{2}, 1, 0 & \frac{1}{2} \end{matrix} \middle| {\frac{1}{4} \operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (- 2 x + 2 \right )}} \right)} & \text{otherwise} \end{cases} & \text{for}\: \left|{\operatorname{periodic_{argument}}{\left (\operatorname{polar\_lift}^{2}{\left (- 2 x + 2 \right )},\infty \right )}}\right| = 0 \\ \int\limits_{0}^{\infty} \frac{2}{\pi t^{2}} \sin^{2}{\left (t \right )} \cos{\left (2 t \left(- x + 1\right) \right )}\, dt & \text{otherwise} \end{cases} \end{equation*} $$

sympy模块还是比较强的,化简可能比较弱,感觉是我的条件声明没有充分利用,要看懂,得知道一些复变函数的知识,这个时候,可以试试Maple或者Mathematica,面对高昂的费用,我们可以使用在线的免费计算WolframAlpha(http://www.wolframalpha.com/),输入

integrate 2/pi*cos(2*t*(1-x))*(sin(t)/t)^2 ,t ,0,oo

即可得$p_2(x)=\frac{1}{2}(\left | x-2 \right |-2\left | x-1 \right |+\left | x \right |)$$n$ 取任意值都是可以算的,由于式子比较复杂,就不展示了。

小结

作者的一些经验感悟:

因为看论文的原因(感觉MCMC好像哪都有),接着从随机数生成开始自学MCMC,一次偶然的机会,去年在北京计算科学研究中心听清华喻文健教授的报告,提到均匀分布的随机数检验,中间也出现了这个图,现在已经记不得是喻教授因为时间原因,没细讲背后的原因,还是自己没听懂,总之只觉得挺有意思的(涉及统计中的游程检验,周围基本都是工科学生,我想我听的更明白些),就记下来,在听报告之前,囫囵地看了康崇禄写的《蒙特卡罗方法理论和应用》的前两章(前两章故事比较多因此看完了),这本书没讲那个例子,却把背后的原因讲明白了(后来细看才知道的)。错位相减算法曾出现在Matlab,自然就去读Cleve B. Moler写的《Numerical Computing with MATLAB》(Revised in 2013),这本书在文中有出现,也介绍了Matlab这么多年内置的随机数发生器的变化史。其实还是推荐看康崇禄那本,不仅因为故事多,而且内容全面和透彻,可以挑自己需要和感兴趣的部分读,也不拘泥于Matlab。

关于应用部分的举例,源于面试,陷于教材,钟于符号计算。这部分涉及一本广为人知的教材《概率论与数理统计教程》(第二版)茆诗松、程依明和濮晓龙著,这本书给了用卷积求独立随机变量和的例子,后面讲特征函数,说它在求独立随机变量和有优势,但是没有举例,所以正好是补充,而且意外地简洁和统一。符号计算获得精确结果是为了和数值计算的结果比较,之前在统计之都的投名状就是符号计算与R语言,但是没有提及python的sympy,这下也正好合体了。


  1. 现在,R、Octave和Matlab这些软件没有单纯用借位相减算法来产生随机数,1995年后,Matlab使用延迟斐波那契和移位寄存器的组合发生器,直到2007年,Matlab推出7.4版本的时候才采用MT发生器。
  2. 在官网的High-Performance JIT Compiler部分
  3. Python的符号计算模块sympy功能比较全,但是化简比较弱,导致结果理解起来不是很方便,比如式子的第一行,看似当$0<x<2$时,$p_{2}(x)=x$是错的,正确的范围应该是$0<x<1$,其实for后面的函数 $polar\_lift()$要求参数大于$0$,这样就没问题了,建议多撸一撸sympy官方文档

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